开始
很有意思的问题。以往见过许多教材，对动态规划（DP）的引入属于“奉天承运，皇帝诏曰”式：不给出一点引入，见面即拿出一大堆公式吓人；学生则死啃书本，然后突然顿悟。针对入门者的教材不应该是这样的。恰好我给入门者讲过四次DP入门，迭代出了一套比较靠谱的教学方法，所以今天跑过来献丑。 现在，我们试着自己来一步步“重新发明”DP。
从一个生活问题谈起
先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w，需要用到尽量少的钞票。
依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。
这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。
但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错： 15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票） 15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）
为什么会这样呢？贪心策略错在了哪里？
鼠目寸光。
刚刚已经说过，贪心策略的纲领是：“尽量使接下来面对的w更小”。这样，贪心策略在w=15的局面时，会优先使用11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很高的，必须使用4×1。如果使用了5，w会降为10，虽然没有4那么小，但是凑出10只需要两张5元。
在这里我们发现，贪心是一种只考虑眼前情况的策略。
那么，现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢？
如果直接暴力枚举凑出w的方案，明显复杂度过高。太多种方法可以凑出w了，枚举它们的时间是不可承受的。我们现在来尝试找一下性质。
重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？”接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。
那么，如果我们取了11，最后的代价（用掉的钞票总数）是多少呢？
明显 ，它的意义是：利用11来凑出15，付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。
依次类推，马上可以知道：如果我们用5来凑出15，cost就是 。
那么，现在w=15的时候，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个！
- 取11： cost = f(4) + 1 = 4 + 1 - 取5： cost = f(10) + 1 = 2 + 1 - 取1： cost = f(14) + 1 = 4 + 1
显而易见，cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子，做出了正确的决策！
这给了我们一个至关重要的启示—— f(n) 只与 f(n - 1), f(n - 5), f(n - 11) 相关；更确切地说：f(n) = min{f(n - 1), f(n - 5), f(n - 11)}
这两个事实，保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略，会分别算出取1、5、11的代价，从而做出一个正确决策，这样就避免掉了“鼠目寸光”！
它与暴力的区别在哪里？我们的暴力枚举了“使用的硬币”，然而这属于冗余信息。我们要的是答案，根本不关心这个答案是怎么凑出来的。譬如，要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值。其他信息并不需要。我们舍弃了冗余信息。我们只记录了对解决问题有帮助的信息——f(n).
我们能这样干，取决于问题的性质：求出f(n)，只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”。
这就是DP（动态规划，dynamic programming）.
几个简单的概念
###【无后效性】
一旦f(n)确定，“我们如何凑出f(n)”就再也用不着了。
要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值，而f(14),f(10),f(4)是如何算出来的，对之后的问题没有影响。
“未来与过去无关”，这就是无后效性。
（严格定义：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。）
###【最优子结构】
回顾我们对f(n)的定义：我们记“凑出n所需的最少钞票数量”为f(n).
f(n)的定义就已经蕴含了“最优”。利用w=14,10,4的最优解，我们即可算出w=15的最优解。
大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”。
引入这两个概念之后，我们如何判断一个问题能否使用DP解决呢？
能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性、最优子结构性质。
